Nació en Buenos Aires el 7 de agosto de 1810. Su padre era de origen español y regresó a España cuando José Cayetano tenía ocho años, ausentándose por más de una década. Su madre fue la porteña María Tomasa Marcó, con quien se trasladó a una quinta heredada de su abuelo en la zona de la Recoleta. En 1830, José Cayetano se volvió comerciante y se asoció con su tío Lucas González, quien posteriormente fue fusilado por orden de Rosas. Este hecho motivó el exilio de Borbón y su familia a Chile en 1841. En Valparaíso conoció a Juan B. Alberdi, con quien entabló un estrecho vínculo político y personal. En 1858 regresó a Buenos Aires con la intención de recuperar los bienes de su familia. Allí operó como informante de Alberdi, quien se encontraba realizando labores diplomáticas en Europa.
Calisto Boyer fue un funcionario e intelectual vinculado a la Confederación Argentina durante las décadas de 1850 y 1860. Ya en 1858 mantenía correspondencia con Juan María Gutiérrez. Trabajó en la Oficina de Estadística del Ministerio del Interior y desde 1866 fue nombrado Agente de Inmigración de la República Argentina en Europa, con residencia en París. Allí desarrolló actividades de propaganda inmigratoria.
Fue uno de los tipógrafos, editores y libreros más destacados de Rovigo y la región del Polesine durante el siglo XIX. En 1839 fundó su célebre imprenta y la gran Libreria Cartoleria A. Minelli en la plaza principal de Rovigo.
Recibió reconocimientos por la altísima calidad de sus publicaciones, como la Medalla de Oro otorgada por el Imperial Real Instituto Veneciano de Ciencias, Letras y Artes y la Medalla de Oro al Mérito Civil otorgada por la República de San Marino.
Además de su labor tipográfica, destacó por sus convicciones religiosas moderadas y su profunda devoción por la causa patriótica de la unificación italiana (el Risorgimento).